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终于有人问了邓煜王虹的获奖研究到底有什么用？

发布时间: 2026-8-3 13:29| 查看: 893| 评论: 1|来自: 果壳

当有些看起来宛如天书的数学问题被解决了很久之后，会以一种以提出者本人都意想不到的方式重新出现。

中国数学家获得菲尔兹奖的新闻刷屏了。在热闹的祝贺声中，也会有人好奇：邓煜研究的狭义希尔伯特第六问题和王虹研究的三维挂谷猜想，有什么用？

菲尔兹奖获得者中国数学家邓煜（左一）、王虹（右一）、美国数学家约翰·帕登（左二）和加拿大数学家雅各布·齐默曼在美国费城举行的2026年国际数学家大会开幕式上合影丨新华社/李睿

进一步地，也有人会想知道，这些抽象的、理论的数学研究有什么用？

数学研究不是买菜时的找零，也不止是造火箭时的计算。如果一定要问它是什么，更贴切的答案或许是：纯数学首先不是一种工具，而是一种语言，一种用来描述结构、关系，以及人类此前从未见过之物的语言。

从一根针开始的抽象工程

这几天，你大概已经听说了很多次挂谷宗一的那根针：一根针在平面上旋转一周，扫过的面积最小能有多小？

这是个非常具体的问题，具体到你可以拿着尺子去量量看。但数学家选择不用尺子和量角器。

一根固定长度的针，在尽可能小的区域内完成180°转向，扫过的区域能有多小？图为众多结构中的一种丨wikimedia commons/Claudio Rocchini

早在1919年，贝西科维奇证明了针扫过的面积可以任意小，趋近于0。

后来的数学家并不满足于此，他们很自然地追问：面积是0，那具体是什么样的呢？毕竟点的面积是0，线的面积也是0。为了方便区别，他们创造了“维度”的概念：点是0、线是1、面是2。

1971年，罗伊·戴维斯证明了平面上的贝西科维奇集合的Hausdorff维数和Minkowski维数都是2，这个集合的面积虽然为0，但在维数意义上却占满了整个平面。

数学家们继续追问：平面上是这样的，那三维空间、甚至更高维的n维欧几里得空间里，包含所有方向的单位向量的集合，Hausdorff维数和Minkowski维数是否都是n？

三维空间中的一个挂谷集合丨Quanta Magazine

接力棒到了王虹手里。王虹和合作者约书亚·扎尔用127页、技术论证层层嵌套的论文，证明了当n=3时，后面的答案是肯定的。

工作中的王虹丨wikimedia commons/Rickinasia

王虹、扎尔证明三维挂谷猜想的预印本论文基本信息

100多年前挂谷宗一描述的那根针已经消失了。一个非常具体形象的问题，在被不断追问细枝末节的过程中，抽象到了普通人难以理解的程度。

王虹的研究拿到菲尔兹奖，说明这个抽象的研究在数学家眼里是很重要的，所有的媒体也尝试强调它十分重要——但到底有多重要、有什么用，似乎没人能真正说清楚。

它似乎关联着一系列其他数学问题的成立性，但绝大多数人对这些问题也一无所知。有人试图告诉你，挂谷问题和傅里叶分析偏微分方程都有关，例如它制约了傅里叶变换的误差——但在没有证明这个问题之前，工程师们也一直在使用傅里叶变换。

在经历以上一堆难以理解的名词轰炸后，你可能忍不住想问：这些跨度漫长、越来越艰涩的追问是为了什么？这些数学研究，只是数学家的头脑游戏吗？

某种程度上，是的。

很多时候，数学家提出一个问题时并没有打算让它解决现实问题。他们更关心的是“它是否存在”“能不能证明”“与已有理论之间是什么关系”。

数学研究和“学以致用”这种思想是截然不同的工作方式：它不是先寻找用途，再发展理论；而是先理解结构，再等待用途自己出现。

可能派上用场，在许多许多年之后

从历史的角度来看，有些看似天书的数学问题被解决很久很久以后，可能会以一种提出者本人都想不到的方式重新出现。

1832年，20岁的法国数学家伽罗瓦死于一场著名的决斗。他生前留下一篇论文，试图回答一个看起来很具体的问题：为什么五次及以上的方程不存在一般的求根公式？

15岁伽罗瓦的肖像丨wikimedia commons

在回答这个问题的过程中，他奠定了群论和伽罗瓦理论的基础，也开启了一系列代数结构的研究。以他的名字命名的“伽罗瓦域（也叫“有限域”）”就是其中之一，一种只包含有限个元素、但对加减乘除都有定义的代数结构。

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最简单的有限域是对某个素数取模。

例如一个只有0~6七个元素的有限域GF(7)，2加上6并不会等于8，而是等于1，因为8不在这个集合里，所以应该让原先的运算结果对7取模，让结果落回0~6之间。

而2*5等于3，因为10对7的模是3，除法则是乘法的逆运算，因为2*5=3，所以3÷2=5。

取模实质上重新定义了四则运算，使它们在有限个元素中封闭。在有限域的运算中，不会出现小数或者分数，每次四则运算的结果都会落回这有限个元素的集合中。

伽罗华的这套理论，在之后被发展成一门叫做抽象代数或近世代数的数学学科分支。对于很多数学系学生来说，这是学习中遇到的第一个拦路虎。在此后200年里，它在数学学科内部影响深远，和许多领域发生交互并得以发展。

但也因为它的抽象，所以一直以来，似乎都与现实问题之间隔着很远的距离。

直到100多年后。

20世纪60年代，数字通信技术开始兴起。一个核心的通信工程问题亟待解决：信号在传输过程中可能会丢失或被污染，接收方拿到的数据存在错误和缺失，要怎么才能恢复原始的信息呢？

麻省理工学院林肯实验室的埃尔文·里德（Irving Reed）和古斯塔夫·索罗门（Gustave Solomon）在寻找解决方案的时候，发现了100多年前伽罗瓦留下的工具。

数字通信的基本单位是字节，1个字节是8位的二进制数，从0到255，共256个。只要构造一个包含256个元素的伽罗瓦域，在这个域中做四则运算，结果永远还是落在0到255中——对信号传输来说，伽罗瓦域能提供纠错和数据恢复所必要的精确性。

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GF(7)那样的取模在这里行不通。因为7是素数，对它取模就能得到一个有限域，所有的运算也可以用取模来完成。

但实际里德和索罗门用的是包含256个元素的有限域，而256不是素数。你不能对256取模来构造有限域，因为例如2×128=256，对256取模等于0，两个不是零的数相乘得出了零，这样除法就失效了。

要构造一个恰好有256个元素，加减乘除都能运行的域，单纯取模是不行的，需要伽罗瓦的域扩张理论：从GF(2)出发，这是一个只有0和1的小域，然后构建一个8次不可约多项式，通过多项式的运算来重新定义新的加减乘除，将它扩展成一个包含256个元素的更大的域。

不仅域本身需要扩张，连四则运算也需要重新定义，这种数学技巧正是数学系学生们头疼的难关之一，也是抽象代数在现实中最广泛的应用之一。

以前人伽罗瓦的理论为基础，有了GF(256)这个域，接下来又要用到多项式。

2个点能确定一条直线，它的多项式表达是一次的；3个点能确定一条抛物线，这是二次多项式；用k个点，我们可以确定唯一的一个k-1次多项式。

二次多项式（左上）、三次多项式（右上）、四次多项式（左下）、五次多项式（右下）在坐标平面上的图形丨wikimedia commons

然后，我们不只传这k个数据，而是先利用这个多项式多算一些点的值，比如算出n个点，一起传过去。n比k大，多出来的那些点就是冗余。

接收方收到了n个值。如果传输完美，任意取其中k个值，就能还原出那个多项式，从而恢复原始数据。

如果传输出了问题，n个值中的几个可能被噪声改掉或者干脆丢失，冗余的价值就发挥出来了：一个k-1项式只需要k个点就能确定，多出来的点提供了交叉验证的能力；被改掉的那些值，不会落在原来那条抛物线上，它们会和其他正确的值产生矛盾从而暴露自己；只要出错的数不超过冗余量的一半，原始数据就能被完整恢复。

这就是Reed-Solomon码的核心思想。

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我们仍然用之前的那个只有0~6七个元素的有限域GF(7)来举个例子。假如你要传递的信息是3和5两个数字，那么我们把它们作为系数，构建出一个一次多项式p(x)=3x+5，然后把x=0,1,2,3这四个数代入，在有限域上获得4个值。

p(0)=5

p(1)=8mod7=1

p(2)=11mod7=4

p(3)=14mod7=0

传递的数据就是[5,1,4,0]这四个值，原始信息只需要[3,5]两个数字就能表达，现在传了4个，那么多出来的2个就是冗余。

先看数据丢失的情况，传输中第三个值丢失了，接收方收到[5, 1, ?, 0]，并且知道丢的是第三个位置。一次多项式只需要两个点就能确定，还剩三个点，足够了，取点(0,5)和(1,1)，斜率算出来是-4，也就是3，就能还原出p(x)=3x+5，代入x=2，p(2)=11mod7=4，缺失的值就能找回来了。

接下来看篡改，接收方收到的数据被改成了[5,1,2,0]。这样就需要从四个点里任取两个点来拟合一条直线，看哪条直线和最多的点一致。

先取(0,5)和(1,1)，得到p(x)=3x+5。验证另外两个点：p(2)=4，但收到的是2，矛盾，p(3)=0，收到的也是0，吻合。四个点中三个落在这条线上，一个不在。

再取(0,5)和(2,2)来拟合，易知p(x)=2x+5。验证p(1)=0，但收到的是1，矛盾，p(3)=4，但收到的是0，也矛盾。这条线只和两个点一致。

第一条线和三个点吻合，第二条只和两个点吻合。那幺正确的多项式胜出，出错的位置是x=2，正确的值是4，多项式是p(x)=3x+5。

当然，实际的算法并不是这样逐步尝试，接收方会通过接收到的数据计算一组叫做伴随式的值，然后用伴随式构造一个错误定位多项式，在有限域上求它的根，每个根能直接指向一个出错的位置，找到之后错误的值就能直接算出并进行修正。

在接下来半个多世纪中，Reed-Solomon码被应用在了各种地方：

1977年发射的两艘旅行者号探测器就携带了Reed-Solomon数据编码器，能让淹没在宇宙中的信号仍然正常发送接收；

以前常用的CD光盘，有时候盘面被刮花了还能正常播放，也仰赖Reed-Solomon码；

如今我们更熟悉的二维码，就算被遮挡或有污点仍能被正常识别，拥有最高纠错等级的二维码甚至允许30%的面积被遮挡或修改，这里面同样应用到了Reed-Solomon码。

从遥远太阳系边缘传回的图像，到路边小贩熟练使用的二维码，它们的纠错能力都来自于伽罗瓦域这个200年前并不为应用而诞生的、抽象的代数结构。